الفارس A
09-04-2022, 03:40 AM
معنى الأصفار التخيلية
الأصفار التخيلية هي نتيجة الدالة كثيرة الحدود التي تحتوي على جذور تربيعية سالبة ويتم إستخدام النظرية الأساسية في الجبر وقانون ديكارت الخاصين ب الجذور والأصفار لحل هذه الدوال .
تحديد عدد الأصفار التخيلية
يمكن تحديد عدد الأصفار التخيلية بإستخدام النظرية الأساسية في الجبر وقانون ديكارت للإشارات .
مثال : د (س) = س^٦ +٣س^٥ – ٤س^٤ – ٦س^٣ + س^٢ – ٨ س + ٥
يلاحظ أن درجه الدالة هي ستة وفقًا للنظرية الأساسية في الجبر لذا فالدالة سوف تعطي ناتج ستة أصفار ( ومن الممكن أن يكونوا أصفار حقيقية أو تخيلية أو الأثنين ) . ثم يتم إستخدام قانون ديكارت للإشارات لتحديد العدد الممكن للأصفار الحقيقية ونوعها.
عند إحتساب عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة د(س) نجد أن معامل س^٦ موجب ومعامل س^٥ أيضا موجبًا ولم يحدث أى تغير في الإشارة .
ثم إشارة معامل س^ ٥ موجبة ،وإشارة معامل س^٤ سالبة. أي تم تغيير الإشارة .
بالنسبة لإشارة معامل س^٤ فهي سالبة ، وإشارة معامل س^٣ أيضًا سالبة.أي لم يحدث أي تغيير في الإشارة.
ثم إشارة معامل س^٣ سالبة ، وإشارة معامل س^٢ موجبة. أي حدث تغير في الإشارة.
ثم إشارة معامل س^٢ موجبة، وإشارة معامل س سالبة. أي حدث تغيُّر في الإشارة.
ثم إشارة معامل س سالبة ، وإشارة العدد الثابت موجبة. أي حدث تغيُّر في الإشارة.
ويلاحظ وجود أربع تغييرات في إشارة المعاملات أي أن عدد الأصفار الحقيقية الموجبة تساوي أربعة أو أثنين أو صفر.
ثم نحسب عدد مرات تغيُّر إشارة معاملات الدالة د (- س) = (-س)^٦ + (٣*-س)^٥ -(٤*-س)^٤ -(٦*-س)^٣ +(-س)^٢ -(٨*-س ) +٥ = س^٦ – ٣س^٥ -٤س^٤ + ٦ س^٣ + ٨س + ٥
ثم نبحث تغيُّر إشارة معاملات الدالة د (-س) نلاحظ تغييرين في إشارة المعاملات أي أن عدد الأصفار الحقيقية السالبة هو أثنين أو صفر.
بما إن الدالة د( س) ناتجها ستة أصفار وعدد الأصفار الحقيقية الموجبة يحتمل أن يكون أربعة أو أثنين أو صفر وعدد الأصفار الحقيقية السالبة يحتمل أن يكون أثنين أو صفر.
نقم بعمل جدول لتوضيح عدد الجذور الحقيقية والتخيلية الممكنة.
بالنسبة للجدول في العمود الأول عدد الأصفار الحقيقية الموجبة وفي العمود التاني عدد الأصفار الحقيقية السالبة ، وفي العمود التالت عدد الأصفار التخيلية وهو يساوي عدد الأصفار الكلي ناقص مجموع عدد الأصفار الحقيقية.
أي أن عدد الأصفار الحقيقية الموجبة من الممكن أن يكون أربعة أو أثنين أو صفر.
بالنسبة للأصفار الحقيقية السالبة فعددها ممكن أن يكون أثنين أو صفر.
بالنسبة لعدد الأصفار التخيلية فهو يساوي ستة ناقص مجموع عدد الأصفار الحقيقية.
بمعنى لو أن عدد الأصفار الحقيقية الموجبة = 3 وعدد الأصفار الحقيقية السالبة = 1 أذن عدد الأصفار التخيلية = 6 – 3+1 = 2
وإذا كان عدد الأصفار الحقيقية الموجبة = ٤ وعدد الأصفار الحقيقية السالبة = صفر أذن عدد الأصفار التخيلية = ٦ -٤. + ٠ = ٢ .
النظرية الأساسية في الجبر
يتم إستخدام النظرية الأساسية في الجبر في تحديد عدد الجذور لمعادلة كثيرة الحدود وفي إيجاد الجذور التخيلية حيث تظهر الجذور التخيلية في معادلة تربيعية عندما يكون تمييز المعادلة التربيعية ( الجزء الموجود أسفل علامة الجذر التربيعي ) (b2 – 4ac) سالبًا.
إذا كانت هذه القيمة سالبة ، فلا يمكنك في الواقع أخذ الجذر التربيعي والإجابات هنا ليست حقيقية. بمعنى آخر ، لا يوجد حل حقيقي. لذلك ، لن يتقاطع الرسم البياني مع المحور x.
دائمًا ما يمنحك استخدام الصيغة التربيعية حلين لأن علامة الجمع / الطرح تعني أنك تضيف وتطرح وتحصل على إجابتين مختلفتين تمامًا. عندما يكون الرقم الموجود أسفل علامة الجذر التربيعي في الصيغة التربيعية سالبًا ، فإن الإجابات تسمى اتحادات معقدة. واحد هو r + si والآخر هو r – si. هذه الأرقام لها أجزاء حقيقية (r) وخيالية (si).
يتكون نظام العدد المركب من جميع الأرقام r + si حيث r و s هي أرقام حقيقية. لاحظ أنه عندما تكون s = 0 ، يكون لديك ببساطة الأعداد الحقيقية. لذلك فإن الأعداد الحقيقية هي مجموعة فرعية من نظام الأعداد المركبة. تقول النظرية الأساسية للجبر أن كل دالة متعددة الحدود لها جذر واحد على الأقل في نظام الأعداد المركبة.
عدد جذور معادلة كثيرة الحدود مرتبط بدرجة المعادلة كثيرة الحدود بمعنى إن معادلة كثيرة الحدود من الدرجة ن ، بيساوي نفس عدد ن من الجذور المركبة مثال :
س^٣ + ٢س^٢ +٦ وهي معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة فنتيجة حل هذه المعادلة يساوى ثلاث جذور .
٤ س^٤ – ٣ س ^٣ + ٥ س_٦ وهي معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة ونتيجة حل هذه المعادلة يساوي أربعة جذور .
_٢س^٥ -٣س^٢ +٨ وهي معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الخامسة ونتيجة حلها يستوي خمسة جذور .
لذا فالدالة كثيرة الحدود من الدرجة ن لديها العدد ن من الأصفار المركبة.
قانون ديكارت للإشارات
وهو يمثل العلاقة بين إشارات معاملات الدالة وبين الأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة ويستخدم لتحديد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة أو السالبة لدالة معينة .
الجذور الحقيقية الإيجابية
بالنسبة لعدد الجذور الحقيقية الموجبة انظر إلى كثير الحدود مكتوبًا بترتيب تنازلي واحسب عدد المرات التي تتغير فيها الإشارة من حد إلى آخر.
تمثل هذه القيمة الحد الأقصى لعدد الجذور الموجبة في كثير الحدود. على سبيل المثال ، في كثير الحدود f (x) = 2×4 – 9×3 – 21×2 + 88x + 48 ، ترى تغييرين في العلامة من المصطلح الأول (+ 2×4 ) إلى الثاني (-9×3) ومن الحد الثالث (-21×2) إلى الحد الرابع (88x). هذا يعني أن هذه المعادلة يمكن أن تحتوي على حلين موجبين.
تنص قاعدة علامات ديكارت على أن عدد الجذور الموجبة يساوي التغييرات في علامة (f (x ، أو أقل من ذلك بعدد زوجي (لذلك استمر في طرح 2 حتى تحصل على 1 أو 0). لذلك ، قد يكون لـ( f (x السابقة 2 أو 0 جذور موجبة.
الجذور الحقيقية السلبية
عدد الجذور الحقيقية السلبية ، أوجد (f (–x وعد مرة أخرى. نظرًا لأن الأرقام السالبة التي يتم رفعها إلى قوى زوجية تكون موجبة والأرقام السالبة المرفوعة إلى قوى فردية سلبية ، فإن هذا التغيير يؤثر فقط على الشروط ذات القوى الفردية.
هذه الخطوة مماثلة لتغيير كل حد بدرجة فردية إلى علامته المعاكسة وإحصاء تغيرات الإشارة مرة أخرى ، مما يمنحك أكبر عدد من الجذور السالبة.
تصبح المعادلة المثال f (–x) = 2×4 + 9×3 – 21×2 – 88x + 48 ، مما يغير العلامات مرتين. يمكن أن يكون هناك جذرين سالبين على الأكثر.
ومع ذلك ، على غرار قاعدة الجذور الموجبة ، فإن عدد الجذور السالبة يساوي التغييرات في الإشارة لـ( f (–x ، أو يجب أن يكون أقل من ذلك بعدد زوجي. لذلك ، يمكن أن يكون لهذا المثال 2 أو 0 جذور سلبية.
مثال : أن س^ن + …+أس+أ
وهي تعد دالة كثيرة الحدود
أذا كان الناتج أصفار حقيقية موجبة أو سالبة فهي تساوي عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة د (س) الموجبة أو د (-س) السالبة .
ومحتمل أن يقل العدد عنه بعدد زوجي . ....
الأصفار التخيلية هي نتيجة الدالة كثيرة الحدود التي تحتوي على جذور تربيعية سالبة ويتم إستخدام النظرية الأساسية في الجبر وقانون ديكارت الخاصين ب الجذور والأصفار لحل هذه الدوال .
تحديد عدد الأصفار التخيلية
يمكن تحديد عدد الأصفار التخيلية بإستخدام النظرية الأساسية في الجبر وقانون ديكارت للإشارات .
مثال : د (س) = س^٦ +٣س^٥ – ٤س^٤ – ٦س^٣ + س^٢ – ٨ س + ٥
يلاحظ أن درجه الدالة هي ستة وفقًا للنظرية الأساسية في الجبر لذا فالدالة سوف تعطي ناتج ستة أصفار ( ومن الممكن أن يكونوا أصفار حقيقية أو تخيلية أو الأثنين ) . ثم يتم إستخدام قانون ديكارت للإشارات لتحديد العدد الممكن للأصفار الحقيقية ونوعها.
عند إحتساب عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة د(س) نجد أن معامل س^٦ موجب ومعامل س^٥ أيضا موجبًا ولم يحدث أى تغير في الإشارة .
ثم إشارة معامل س^ ٥ موجبة ،وإشارة معامل س^٤ سالبة. أي تم تغيير الإشارة .
بالنسبة لإشارة معامل س^٤ فهي سالبة ، وإشارة معامل س^٣ أيضًا سالبة.أي لم يحدث أي تغيير في الإشارة.
ثم إشارة معامل س^٣ سالبة ، وإشارة معامل س^٢ موجبة. أي حدث تغير في الإشارة.
ثم إشارة معامل س^٢ موجبة، وإشارة معامل س سالبة. أي حدث تغيُّر في الإشارة.
ثم إشارة معامل س سالبة ، وإشارة العدد الثابت موجبة. أي حدث تغيُّر في الإشارة.
ويلاحظ وجود أربع تغييرات في إشارة المعاملات أي أن عدد الأصفار الحقيقية الموجبة تساوي أربعة أو أثنين أو صفر.
ثم نحسب عدد مرات تغيُّر إشارة معاملات الدالة د (- س) = (-س)^٦ + (٣*-س)^٥ -(٤*-س)^٤ -(٦*-س)^٣ +(-س)^٢ -(٨*-س ) +٥ = س^٦ – ٣س^٥ -٤س^٤ + ٦ س^٣ + ٨س + ٥
ثم نبحث تغيُّر إشارة معاملات الدالة د (-س) نلاحظ تغييرين في إشارة المعاملات أي أن عدد الأصفار الحقيقية السالبة هو أثنين أو صفر.
بما إن الدالة د( س) ناتجها ستة أصفار وعدد الأصفار الحقيقية الموجبة يحتمل أن يكون أربعة أو أثنين أو صفر وعدد الأصفار الحقيقية السالبة يحتمل أن يكون أثنين أو صفر.
نقم بعمل جدول لتوضيح عدد الجذور الحقيقية والتخيلية الممكنة.
بالنسبة للجدول في العمود الأول عدد الأصفار الحقيقية الموجبة وفي العمود التاني عدد الأصفار الحقيقية السالبة ، وفي العمود التالت عدد الأصفار التخيلية وهو يساوي عدد الأصفار الكلي ناقص مجموع عدد الأصفار الحقيقية.
أي أن عدد الأصفار الحقيقية الموجبة من الممكن أن يكون أربعة أو أثنين أو صفر.
بالنسبة للأصفار الحقيقية السالبة فعددها ممكن أن يكون أثنين أو صفر.
بالنسبة لعدد الأصفار التخيلية فهو يساوي ستة ناقص مجموع عدد الأصفار الحقيقية.
بمعنى لو أن عدد الأصفار الحقيقية الموجبة = 3 وعدد الأصفار الحقيقية السالبة = 1 أذن عدد الأصفار التخيلية = 6 – 3+1 = 2
وإذا كان عدد الأصفار الحقيقية الموجبة = ٤ وعدد الأصفار الحقيقية السالبة = صفر أذن عدد الأصفار التخيلية = ٦ -٤. + ٠ = ٢ .
النظرية الأساسية في الجبر
يتم إستخدام النظرية الأساسية في الجبر في تحديد عدد الجذور لمعادلة كثيرة الحدود وفي إيجاد الجذور التخيلية حيث تظهر الجذور التخيلية في معادلة تربيعية عندما يكون تمييز المعادلة التربيعية ( الجزء الموجود أسفل علامة الجذر التربيعي ) (b2 – 4ac) سالبًا.
إذا كانت هذه القيمة سالبة ، فلا يمكنك في الواقع أخذ الجذر التربيعي والإجابات هنا ليست حقيقية. بمعنى آخر ، لا يوجد حل حقيقي. لذلك ، لن يتقاطع الرسم البياني مع المحور x.
دائمًا ما يمنحك استخدام الصيغة التربيعية حلين لأن علامة الجمع / الطرح تعني أنك تضيف وتطرح وتحصل على إجابتين مختلفتين تمامًا. عندما يكون الرقم الموجود أسفل علامة الجذر التربيعي في الصيغة التربيعية سالبًا ، فإن الإجابات تسمى اتحادات معقدة. واحد هو r + si والآخر هو r – si. هذه الأرقام لها أجزاء حقيقية (r) وخيالية (si).
يتكون نظام العدد المركب من جميع الأرقام r + si حيث r و s هي أرقام حقيقية. لاحظ أنه عندما تكون s = 0 ، يكون لديك ببساطة الأعداد الحقيقية. لذلك فإن الأعداد الحقيقية هي مجموعة فرعية من نظام الأعداد المركبة. تقول النظرية الأساسية للجبر أن كل دالة متعددة الحدود لها جذر واحد على الأقل في نظام الأعداد المركبة.
عدد جذور معادلة كثيرة الحدود مرتبط بدرجة المعادلة كثيرة الحدود بمعنى إن معادلة كثيرة الحدود من الدرجة ن ، بيساوي نفس عدد ن من الجذور المركبة مثال :
س^٣ + ٢س^٢ +٦ وهي معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة فنتيجة حل هذه المعادلة يساوى ثلاث جذور .
٤ س^٤ – ٣ س ^٣ + ٥ س_٦ وهي معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة ونتيجة حل هذه المعادلة يساوي أربعة جذور .
_٢س^٥ -٣س^٢ +٨ وهي معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الخامسة ونتيجة حلها يستوي خمسة جذور .
لذا فالدالة كثيرة الحدود من الدرجة ن لديها العدد ن من الأصفار المركبة.
قانون ديكارت للإشارات
وهو يمثل العلاقة بين إشارات معاملات الدالة وبين الأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة ويستخدم لتحديد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة أو السالبة لدالة معينة .
الجذور الحقيقية الإيجابية
بالنسبة لعدد الجذور الحقيقية الموجبة انظر إلى كثير الحدود مكتوبًا بترتيب تنازلي واحسب عدد المرات التي تتغير فيها الإشارة من حد إلى آخر.
تمثل هذه القيمة الحد الأقصى لعدد الجذور الموجبة في كثير الحدود. على سبيل المثال ، في كثير الحدود f (x) = 2×4 – 9×3 – 21×2 + 88x + 48 ، ترى تغييرين في العلامة من المصطلح الأول (+ 2×4 ) إلى الثاني (-9×3) ومن الحد الثالث (-21×2) إلى الحد الرابع (88x). هذا يعني أن هذه المعادلة يمكن أن تحتوي على حلين موجبين.
تنص قاعدة علامات ديكارت على أن عدد الجذور الموجبة يساوي التغييرات في علامة (f (x ، أو أقل من ذلك بعدد زوجي (لذلك استمر في طرح 2 حتى تحصل على 1 أو 0). لذلك ، قد يكون لـ( f (x السابقة 2 أو 0 جذور موجبة.
الجذور الحقيقية السلبية
عدد الجذور الحقيقية السلبية ، أوجد (f (–x وعد مرة أخرى. نظرًا لأن الأرقام السالبة التي يتم رفعها إلى قوى زوجية تكون موجبة والأرقام السالبة المرفوعة إلى قوى فردية سلبية ، فإن هذا التغيير يؤثر فقط على الشروط ذات القوى الفردية.
هذه الخطوة مماثلة لتغيير كل حد بدرجة فردية إلى علامته المعاكسة وإحصاء تغيرات الإشارة مرة أخرى ، مما يمنحك أكبر عدد من الجذور السالبة.
تصبح المعادلة المثال f (–x) = 2×4 + 9×3 – 21×2 – 88x + 48 ، مما يغير العلامات مرتين. يمكن أن يكون هناك جذرين سالبين على الأكثر.
ومع ذلك ، على غرار قاعدة الجذور الموجبة ، فإن عدد الجذور السالبة يساوي التغييرات في الإشارة لـ( f (–x ، أو يجب أن يكون أقل من ذلك بعدد زوجي. لذلك ، يمكن أن يكون لهذا المثال 2 أو 0 جذور سلبية.
مثال : أن س^ن + …+أس+أ
وهي تعد دالة كثيرة الحدود
أذا كان الناتج أصفار حقيقية موجبة أو سالبة فهي تساوي عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة د (س) الموجبة أو د (-س) السالبة .
ومحتمل أن يقل العدد عنه بعدد زوجي . ....